Есть консультанты (адвокаты) по оформлению внж? Если приехать, остаться нелегально и родить. В больнице примут роды?

Конечно примут. Родить можно абсолютно бесплатно (в Госпитале Евы Перрон например в Сан Мартине), он государственный, потому там же прям и выдадут св-во о рождении ребёнка и ДНИ (в частном рожать тоже можно, но там точно будут колоть стимулирование и роды будут чётко в день, когда они решат, затем придётся самим уже бегать по регистро сивиль оформляя св-во о рождении и ДНИ, но зато в частной клинике телек в палате, почище, покраше). На этом основании и Вы сразу же в миграсионесе подадите на перманентное ДНИ (основание - воссоединение с семьёй, т. к. ребёнок по факту рождения - аргентинец). Затем оформите монотрибут (ИП), подадитесь в хусгадо-федераль (суд) и через пару лет получите гражданство уже и себе.