в Батуми есть хорошие поликлиники с русскоговорящими врачами и как вообще происходит процесс записи на сеанс и т. д?

Клиники платные все есть в интернете. У большинства на сайте можете переключить язык и всё прочитать на русском, выбрать специалиста. По телефону позвоните, вам позовут для общения того, кто говорит по-русски и помогут выбрать русскоговорящего врача, их много.