можно ли въехать матери и несовершеннолетнему ребёнку в Казахстан без согласия отца, который уже находится в Казахстане? Есть ли какие-то запреты, ограничения именно с Казахской стороны?

Один родитель норм. Доверенности и согласия второго не надо.

Ни с какой стороны запретов нет, вы едете со своим ребенком. Обязательно свидетельство о рождении возьмите.

При въезде в Казахстан такие вопросы не задаются, если в документах матери ребенок указан должным образом. Не было бы проблем при выезде из РФ.

Если это не ПМЖ то проблем нет.