Подскажите, что вообще бывает с теми, кто остается в Южной Корее дольше положенного по к-ете хоть на один день?

В паспорте или в базе данных депорт.

Если например билет на пару дней позже, то идёте в миграшку в предпоследний день и вам продлят до дня вылета пребывание.