При оформлении ВНЖ в Казахстане есть такой пункт в списке необходимых документов: - Документ подтверждает согласие страны, гражданином которой является иммигрант, на его проживание за границей. Кто-нибудь в курсе, что это такое?

В любом случае это надо нотариально заверять. Т. е. собственник квартиры должен дать согласие на твою регистрацию в его квартире\доме (прописать). Нотариусы обычно в курсе, что это такое покажи им пункт этот. Если не в курсе значит не очень опытный нотариус и лучше найти другого.

Возможно, им может являться листок убытия с места регистрации в раша.