Если оформляем визу Индии на семью, одновременно, на 2 взрослых и ребёнка, а въезжаем в Индию в разное время, ребёнок с одним из родителей, нужны ли какие-то дополнительные документы на въезд ребёнка будут?

Нет, виза всё равно выдается на каждого. В Индии пограничники не спрашивают дополнительных документов. Главное чтобы фамилии у ребёнка и родителей были одинаковые. И то это только для наших пограничников, что вы не вывозите чужого ребёнка (можно взять свидетельство о рождении на всякий).