можно доверять хозяйке квартиры в батуми, просит скинуть оплату за месяц на карту и будет ждать нас максимум до 9 числа чтобы мы приехали.? или не стоит?

Бывали истории, когда кидали, так что лучше заочно ничего не снимать и не оплачивать.

Лучше заключайте договор.

Я бы не рисковала, или попросила документы удостоверяющие личность и документы на квартиру. Пусть договор аренды даст. Мало ли что это за человек вам там в интернете пишет.