Подскажите: болгарская виза заканчивается 31.12, новая болгарская виза начинается 01.01. Нужно ли выезжать или можно спокойно оставаться в Болгарии? Спасибо.

Нет, не нужно. Мы тоже так летали по старой въезжаешь по новой выезжаешь когда надо. Пограничники отлично всё видят и сами проверяют. Если бы надо было выезжать, они бы вам сказали.