Скажите, карту в юни банк делают 5 дней, как обещают или могут раньше изготовить?

Могут и быстрее изготовить. Мне вот за три дня сделали в свое время. Но гарантий Вам не даст никто. Плюс, учтите, что речь идет именно рабочих днях, выходные в зачет не идут. Если реально торопитесь - надо заказывать срочный выпуск.