Рандеву прошло, все успешно, статус одобрено, но карточку не получил. Правильно ли понимаю, что я могу выехать всего на 15 дней и я обязан взять справку из гёч и квитанцию об оплате налога? Оба этих документа берутся в геч? Записываться нужно?

Квитанция у вас копия должна быть. Или, Если онлайн платили, скачать можете ее. А справку да, в геч. Без записи.

Квитанция об оплате пошлин - думается что не в гёч, а в том месте, где вы её оплачивали (чаще всего платят в налоговой). Да и вообще в Гёч оригинал наверное лучше бы не отдавать, а только копию.