Подскажите, пожалуйста, какой сейчас самый бюджетный способ добраться до Италии на самолёте? Через какую страну?

Зависит от набора документов, который у Вас есть. Если например итальянской ВНЖ то дешево автобусом до Хельсинки и Finnair до Италии.

Сейчас через Ереван можете посмотреть, на февраль не так дорого, в пределах 25 может выйти туда билет.

Через Астану.