Скажите пожалуйста, котов через границу Казахстана без паспортов реально провезти?

Да, сестра год назад провозила, паспорт не спрашивал никто на границах.

Сейчас нужны паспорта для животных.

Нет. Купите паспорт у себя перед выездом. Поставьте наклейки хотя бы от прививок.