Скажите, что делать, если при сдаче квартиры в Сингапуре агент, выставивший квартиру, просит fee? На каком основании он просит с арендатора, если он агент лэндлорда?

Он не имеет права на это, это значит одно из двух или сразу оба: это не агент ЛЛ и/или этот агент хочет состричь побольше, что нелегально. Можете так прямо и сказать и намекнуть на жалобу в регулятора.