Подскажите, пожалуйста, просят сейчас прописку для внж?

Нет, только договор аренды, в который вы вписаны, и цветные копии тапу на каждого.

Прописка после получения ВНЖ делается.

Надо тапу или нет, еще зависит от настроения сотрудника - у брата тапу не просили, а у нас с мужем запросили. Хотя договор аренды на квартиру один и тот же.