Открывают ли какие-то банки карты нерезидентам? Без трудового договора и договора аренды.

Юнибанк.

У Юнибанка условия кабальные, но всё легко) Попробуйте ещё Арарат. Мы там делали, но правда с договором аренды и загранпаспортом. Хотя договор аренды не нужен был нотариально заверенный И документы надо подавать переведённые на армянский язык (договор + перевод паспорта).