Можно ли прийти в кассу банка Кипра и просто положить наличку на счёт другого человека? Если да, то что для этого обычно требуется, если нужно перевести деньги за аренду жилья?

Да, я в Хеленнике так делал на этой неделе. Но сказали, что меняются правила и скоро уже будет нельзя.

Можно, возьмите с собой контракт, банк должен быть, собственно, тот же, что у лендлорда.