Если машину привозишь из России, на ней может ездить только владелец? На кого она записана?

Да. Либо законный супруг/родитель/ребенок, но там документы нужны подтверждающие апостилированные всякие свидетельства о браке/рождении. Причем если кого-то из них за руль посадить, владелец должен быть рядом. Иначе заберут авто на штрафстоянку.