Задерживается выдача нового паспорта. Время поджимает , надо брать билеты.

Ну вы всегда можете написать в АК о необходимости поменять реквизиты билета.

В процессе перелета номер паспорта (а это единственное, что у старого и нового должно отличаться, вроде как), будет играть роль только на стойке регистрации. И даже это не факт. То есть, по идее, можно получить посадочные по старому, а пограничникам уже показывать новый.