А можно будучи в Бишкеке с паспортом РФ, оформить натуральную доверенность на гражданина РФ (находящегося в РФ), например на проведение сделок с недвижимым имуществом в РФ? Если да, то как происходит процесс оформления доверенности? Спасибо.

Можно, как и везде происходит, находите ближайшего нотариуса (государственный дешевле) и с паспортами к нему.

По закону должны оба присутствовать у нотариуса, кроме этого должны быть оригиналы паспортов обоих граждан и оригинал документов на недвижимость, но.....

Да, можно. Недавно на Ахунбаева Шота Руставели у нотариуса оформила доверенность. Это стандартная процедура. Нотариус сам вам прямо по полочкам объяснит. Ещё ньюанс если вы в законном браке, то нужно согласие супруга, которое тоже делается через нотариус.