факт получения второго гражданства считается с какой даты? С момента подписания присяги? Или с момента получения паспорта? То есть, с какого момента отсчет этих 60 дней начинает идти, за которые нужно успеть уведомить?

С даты получения документа подтверждающего получение - дата выдачи паспорта. Именно его копию Вы будете предоставлять.

Если Вы живёте и находитесь в РФ, и в РФ получили уведомление о получении гражданства другой страны, то: "Лицу, проживающему в России, для этого отводится 60 дней от даты оформления гражданства или права на постоянное проживание в другой стране. Следует учитывать период времени, который займет получение подтверждающих документов от иностранного государства. ".