визы типа Д дают право на проживание только в стране получения?

Да, обычно это национальные визы. В другие страны ЕС вроде как только как турист можно кататься, с теми же ограничениями.

Они вообще для подачи на ВНЖ, и первое ВНЖ даётся обычно на год-два. Жить надо в стране получения, но в условиях отсутствия погранконтроля многие злоупотребляют, скажем живут с ВНЖ Латвии в Италии или Испании.