Подскажите, если я приехав в Казахстан, я пересёк границу с Россией, использовав российский паспорт, тот есть в заграннике у меня печать не стоит

Можно выехать и заехать нормально — 100% рабочий ваиант. заодно и срок пребывания обновится.

Справку о пересечении границы можно заказать, в местном МВД.

Регистрацию делайте в том месте где снимаете жилье, собственник обычно ее без проблем делает, отели тоже. Главное чтобы вы у них дольше 3 дней оставались. Kaspi, Freedom в таком случае делают без проблем карты.