Подскажите, пожалуйста, есть ли какое-то облегченное получение грузинского паспорта для граждан РФ с грузинскими корнями и фамилией, как к примеру у евреев( им дают гражданство, если доказать присутствие еврейских корней)?

Уже почти нет, только если у вас был паспорт Грузии после 93 года. Все остальное, относительно натурализации отменили, отбирают беженства, временные доки, ПМЖ и ТД.

Будете получать по той же процедуре что и любой другой иностранец, хоть и основания у вас разные.