Подскажите, пожалуйста, если прилетаешь в Будапешт из других стран ЕС, там проверяют внж? Или можно просто по загранпаспорту?

Тут скорее вопрос к авиакомпании, которой вы летите. Они должны сделать это при посадке.

У многих перевозчиков, если паспорт не EU, есть visa check процедура. В Ryan так точно.

Не проверяют.