Собираемся с мужем переезжать в Аргентину и делать гражданство (мы граждане Беларуси). Узнали такую информацию, что при получении паспорта Аргентины придется отказаться от своего.. Это реально так?

Аргентина не против двойного гражданства, а вот по Беларуси не знаю

И да, и нет. При получении гражданства вас не заставляют отказываться от предыдущего. Вернее так: вы подписываете анкету, в которой написано, что вы отказываетесь, но во-первых Верховный Суд это запретил (они просто анкет много напечатали и до сих пор ими пользуются), во-вторых для России этот "отказ" ничего не значит. Эти договоры по большей части распространяются на как раз-таки остальные страны, которые заставляют отказываться (то есть, Аргентина договорилась с ними, что их граждане не должны отказываться от аргентинского, если получают гражданство той страны). Плюс есть небольшой нюанс про миграционным процедурам (например, если вы гражданин Аргентины и при этом другой страны, то при вылете должны использовать только паспорт Аргентины если договора нет, и можете использовать другой если договор есть, короче, глупости). Ну и в некоторых местах вы в графе "гражданство" в теории должны писать оба при наличии договора