В интернете нашла разную инфу, где-то пишут что ВНЖ Сербии дает право путешествовать в Бельгию, Финляндию, Испанию, а где-то написано что никуда нельзя . Разъясните

Никуда нельзя. У вас паспорт РФ, орентируйтесь на него.

Без визы нельзя никуда кроме Боснии, Черногории, летом ещё можно в Албанию. С ВНЖ есть возможность подаваться на Шенген, не выезжая для этого в Россию.

Гражданам Сербии можно))

Имелось в виду - визы дают, вероятно)