А кто-то знает, точно ли нужно ставить автомобиль с иностранными номерами на учет в Анталии или можно всё-таки это сделать в Манавгате?

Что Вы понимаете под «ставить на учёт»? Вы заехали - таможня отметку сделала. Получили икамет - идёте продлять автомобиль на таможню. Если надумаете вылететь на какое-то время, оставив автомобиль тут, то уведомляете таможню, где он будет стоять во время Вашего отсутствия.