насколько пристально рассматривают прививочный паспорт? И можно ли обойти эту историю?

Не смотрят особо, только название прививки и дату и то не всегда.

Смотрят, у нас смотрели и на стойке, и при посадке на рейс один, потом на рейс второй в Дохе.