Подскажите, если снимать квартиру в Ташкенте и мне там сделают регистрацию, но без договора на первый месяц (далее заключим), не будет ли это считаться пропуском 15 дней пребывания в Узбекистане?

Если делать регистрацию через большее количество времени, могут штраф влепить.

Не будет. Регистрация и договор это не одно и тоже. Наличие или отсутствие договора аренды никак не влияет на регистрацию.