В экспресс поезде (типа наших аэроэкспрессов) Тбилиси - Батуми можно с собакой в переноске ехать?

Можно. Но возможно отдельный билет, не помню.

Можно. Отдельный билет не нужен. Животное должно быть в переноске и могут при посадке документы на него проверить.