Такой вопрос: гражданка США которая вышла замуж в Грузии, хочет развестись.. Но сертификат находится у мужа и он давно не идёт на контакт.

Это зависит от того, был ли легализован брак в той стране, где они в основном жили. Если был - тот там же можно и разводиться, а потом просто уведомить грузинские органы. Если не был - то только в Грузию приезжать.