Если у гражданина РФ нет загранпаспорта, но он оформляет трудовой договор в организации, где заработную плату перечисляют на карту, что делать?

Второй вариант рабочий. Я сейчас так на работу устраиваюсь.

Получить в казпочте или в другом банке, где выдают с договором.

По вашему заявлению можно в теории, о перечислении вашего заработка на счёт другого человека. Обсудите с бухгалтерией, даже доверенность вряд ли потребуется.