На чужой машине без доверенности можно пересечь границу РФ в Казахстан?

Вряд ли. На границе проверяют все документы на машину.

Лучше оформить доверенность у нотариуса в России, друзья так проезжали.

Пересекал на машине находящейся в лизинге, на юр лицо, ни чего не просили и не спросили.