Скажите, пожалуйста, могу ли я выезжать за пределы Кипра в рабочее время без оформления официального отпуска или командировки?

Можете конечно. А как вы себе представляете, что вас на границе не выпустят, дескать работодатель не дозволяет? Не более 90 дней подряд.