у меня осталась неделя пребывания. Насколько знаю, как только подал документы на сайт, даётся ещё три месяца до получения ВНЖ. Так ли это? Или три месяца даётся после получения даты рандеву?

Нет, если вы подали документы, то забудьте о трёх месяцах, вам уже время никто не считает. Записывайтесь на рандеву, проходите его, сколько потребуется на эту процедуру столько и сможете тут находиться (единственное, записаться на рандеву нужно не позднее 180 дней от подачи анкеты)