Подскажите, Россиянин не может иметь двойное гражданство в Аргентине? Если мы получаем Аргентинское мы должны отказаться от Российского?

Нет, не должны отказываться.

Если вы россиянин по рождению, вы можете иметь двойное гражданство. Если вы имеете гражданство аргентины и получаете российское, вы должны выбрать что-то одно.

Разделяйте понятия двойного гражданства и второго гражданства. При втором ваши обязанности как гражданина не взаимозасчитываются, вы должны и тем и тем) Но при получении второго гражданства Аргентины отказываться от первого российского вы не обязаны)