можно ли в Аланьи сделать официальную доверенность на русском языке? Доверенность мне нужна для того, чтобы отправить в Узбекистан потом.

Конечно. Делаете на русском. Идёте к нотариусу. Вам переводят на турецкий и ставят апостиль. В Узбекистан отправляете, там делают обратный перевод (точнее, убеждаются, что исходный смысл передан верно и берут исходный документ на русском) и его заверяют у нотариуса.