Правда ли то, что если работаешь, то для иммиграции по визе CUAET, нужна справка о зарплате за последние полгода, и если да, нужно ли указывать это

На визу CUAET не нужно не чего. Вы должны быть гражданином Украины и всё. Причем тут работа. Подавайте смело.

Гражданам Украины никакие справки ненужны абсолютно. Можете выписку из банка в электронном виде приложить если сильно хотите, но и это необязательно.