Увидела, что можно на сайте налоговой службы, подать онлайн заявление на открытие ИНН Кто-то делал так, находясь еще не в Турции? Не было потом проблем?

Нужно находиться в Турции. Проверяется по базе пересечение границы. Если не получается, подождать пару дней. Фамилию, имя забивать капслоком. Обращать внимание, что в наших паспортах I без точки. Так и пишите, так как в турецком языке есть большая İ - и это другая буква.

После пересечение миграционный контроль.

Мы делали в России, потом полетели в Стамбул, не было вопросов.