Какое просить подтверждение от гостиницы? Как оно должно выглядеть? Мы на неделю заезжаем, пока искать на постоянку будем. Надо чтоб на эту неделю гостиница зарегистрировала, а потом через неделю мы сами уже на остаток месяца, верно?

При регистрации в подавляющем большинстве выдаётся распечатка с подтверждением. Это либо красный такой квиток, либо просто на листе А4, если у них машинки нет. И Вам этот листок должны отдать. Зарегистрироваться по месту пребывания Вы можете и самостоятельно, посетив агентство. Нужно только знать фамилию, имя и адрес хозяина того места, где Вы останавливаетесь. При смене места Вы регистрируетесь по адресу. Не нужно въезжать и выезжать, Вы ограничены только 30-ю туристическими днями. В рамках этого срока у Вас должна быть регистрация за все дни, а как она разбита, на сколько частей - не важно.