можно ли «выписаться» из одной квартиры в РФ и «вписаться» в другую, написав заявление в посольстве России в Армении? Или ради этого придется ехать в РФ? Спасибо.

Мы совсем недавно решали подобную проблему и не решили. Могут пойти навстречу с доверенностью, но могут и не пойти. Лучше всего пойти в нужный паспортный стол (оба), и спросить у них, и у них ещё могут быть особенные пожелания по оформлению этой доверенности.