Если будет постоянная регистрация (по внж), но при этом проживание будет по другому адресу в том же городе, нужно делать уведомление на новый адрес или временную регистрацию?

Временную регистрацию. Как только получили ВНЖ, забудьте об уведомлении. Все правила как для граждан.

Регистрация по месту проживания.

Можно сделать регистрацию по месту пребывания в этом новом месте, при этом регистрация по месту жительства никуда не денется.