Если в России сдать в аренду недвижимость (заключить договор и поставить апостиль), то нужно платить налоги в казну. А приехав в Аргентину и показав договор для оформления рантье, нужно ли будет платить налог ещё раз, только в Аргентине?

Не сразу, но придется. Как только станете налоговым резидентом Аргентины, появится обязанность платить налог на доход и на недвижимость. И в РФ продолжать платить. При документальном подтверждении уплаты налога в РФ а Аргентине можно второй раз этот же налог по такой же ставке не уплачивать. А только разницу (если ставка в Аргентине выше). И наоборот.