Подскажите, пожалуйста, будут ли проблемы при пересечении границы на самолёте из Москвы в Астану, если билет куплен на внутренний паспорт РФ?

Не будет.

Зависит от ваших дальнейших планов. Если планируете получать РВП, оставаться на 12 месяцев+ то пока ничего страшного, если пересечете границу по российскому.

Из-за билета по вн. паспорту - точно не будет проблем.

Доверенность ещё рекомендую оформить на получение документов и заказать справку о несудимости в ближайшее время.

Пока ещё можно и электронно справкой обойтись, но лучше бумажную.