Можно счет в Каспи по русскому паспорту открыть?

Нет нельзя открыть. Каспи открывают по заграну со штампом о пересечении границы. Если у вас нет загранпаспорта, то как вариант можно Halyk банк. Оформляет по трудовому договору со справкой с места работы. Или ещё есть вариант КазПочта, они открывают по русскому паспорту, но нужна транслитерация (перевод) на латиницу заверенная у нотариуса и ИИН.