Подскажите, пожалуйста, чтобы продлить срок пребывания ещё на 60 дней, что нужно сделать. Куда обращаться, какие документы нужны?

На денёк съездить в Бишкек.

Регистрация и трудовои договор.

С 30 до 90 всмысле?

Насколько я знаю, нужно в течении 3х дней после въезда зарегистрироваться в местных гос. услугах (егов. кз или еконак). Делать это должна принимающая сторона (отель, хостел, арендодатель). После этого можно оставаться на 90 дней.