Если просят внести заранее депозит на 1 месяц за квартиру до подписания бумаг. Что делать?

Странновато звучит. Я подписала контракт, заплатила на след день.

Смотря кто просит. Если агент с лицензией, то после подписания договора о намерениях это норм. Если просто человек, которого вы ещё не видели ни разу, а квартиру только на фото - то есть опасения...