Если договор на аренду квартиры нотариально заверить, то визаранить не нужно будет на срок аренды, я правильно понимаю?

Если срок договора от года, вроде бы.

Платить может быть не придется, если квартира в базе. А ездить на границу точно также

Я сегодня ездил хотя квартиру на год арендовал.