Подскажите пожалуйста, если я, гражданин РФ, заключаю трудовой договор с ТОО РК, мне не нужно выезжать через 90 дней за границу.

Трудовой договор в этом случае является основанием для оформления РВП. Т. е. Вам нужно сделать РВП. И члены семьи тоже получат РВП.

Но сам трудовой договор на историю с возможным количеством дней пребывания никак не влияет.