Есть ли какая-то альтернатива сайту e-ikamet? Что делать, если я пытаюсь оставить заявку на продление икамета, но сайт уже три дня подряд выдаёт ошибку?

Нет, это государственный сайт, и заявки оформляются только на нем. Попробуйте заполнить все на турецкой версии сайта. Русская и английская версии часто работают со сбоями.